Proyeksi Ortogonal dan Panjang Proyeksi Bersama Contohnya

 Proyeksi Ortogonal

Seperti penjelasan pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk geometri (dalah bentuk gambar yang diwakili sebuah garis berarah). Karena dalam bentuk garis berarah, maka kita dapat melakukan proyeksi satu garis ke garis lainnya (dalam hal ini adalah vektor ke vektor). Untuk pengertian proyeksi secara mendetail, silahkan baca artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang". Sementara kata "Ortogonal" memiliki makna yang terkait dengan tegak lurus. Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor menghasilkan sebuah vektor. Ada tiga hal yang akan kita bahas berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor yaitu "proyeksi skalar vektor pada vektor (menentukan skalarnya)", "proyeksi vektor pada vektor (menentukan vektornya)", dan "panjang proyeksi vektor pada vektor". Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan ilustrasi gambar "Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor" berikut ini.

         Misalkan kita akan memproyeksikan vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ seperti tampak pada ilustrasi gambar 1 di atas. Proyeksi Ortogonal Vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada Vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ menghasilkan vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ dimana ujung vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ dibatasi oleh sebuah garis tegak lurus terhadap vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ yang ditarik dari ujung vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ ke vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$. Ada tiga hal yang bisa kita tentukan yaitu :
(I). Skalarnya yaitu besar dan arah c⃗ $\overrightarrow{c}$ terhadap vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$,
Jika positif, maka c⃗ $\overrightarrow{c}$ searah dengan vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ dan
Jika negatif, maka c⃗ $\overrightarrow{c}$ berlawanan arah dengan vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$
Jika besarnya nol, maka a⃗ $\overrightarrow{a}$ tegak lurus b⃗ $\overrightarrow{b}$

(II). Vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ itu sendiri (vektor hasil proyeksi)
(III). Panjang vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ (panjang vektor hasil proyeksinya yang nilainya selalu positif).

         Untuk memudahkan mempelajari materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor ini, sebaiknya kita harus menguasai materi "perkalian dot dua vektor" dan "panjang vektor", karena kedua materi ini yang berkaitan langsung pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.

Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor

       Perhatikan ilustrasi gambar 1 Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor di atas. Berikut rumus-rumus yang berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, yaitu :

♣$\mathrm{♣}$ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
       Proyeksi skalar =a⃗ .b⃗ |b⃗ |$=\begin{array}{r}\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\end{array}$
♠$\mathrm{♠}$ Proyeksi vektor Ortogonal a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
       Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ $=\begin{array}{r}\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\end{array}$
♡$\mathrm{♡}$ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
       Panjang Proyeksi =∣∣∣∣a⃗ .b⃗ |b⃗ |∣∣∣∣$=\begin{array}{r}\left|\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right|\end{array}$

Catatan :
*). Bentuk a⃗ .b⃗ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ artinya perkalian dot dan |b⃗ |$|\overrightarrow{b}|$ adalah panjang vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$.
*). Trik mengingat rumusnya adalah tergantung kata "pada" dimana vektor kedua setelah kata "pada" selalu sebagai pembagi, misalkan :
-). Proyeksi Ortogonal vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$, rumusnya :
Proyeksi skalar =b⃗ .a⃗ |a⃗ |$=\begin{array}{r}\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\end{array}$,
Proyeksi vektor =(b⃗ .a⃗ |a⃗ |2)a⃗ $=\begin{array}{r}\left(\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}{|}^2}\right)\overrightarrow{a}\end{array}$,
Panjang Proyeksi =∣∣∣∣b⃗ .a⃗ |a⃗ |∣∣∣∣$=\begin{array}{r}\left|\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\right|\end{array}$ .
*). Sesuai sifat perkalian dot yaitu a⃗ .b⃗ =b⃗ .a⃗ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
*). Proyeksi Ortogonal a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ dapat ditulis Proyb⃗ a⃗ $\begin{array}{r}{\text{Proy}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}\end{array}$.
*). Kata "Ortogonal" boleh kita tulis atau juga boleh tidak karena proyeksi pasti tegak lurus.
*). Untuk menentukan panjang proyeksi vektor, kita boleh mencari dulu hasil proyeksi vektornya kemudian menentukan panjangnya.
*). Untuk pembuktian rumus-rumus di atas, akan kita sajikan di bagian akhir setelah contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :

1). Diketahui vektor a⃗ =(2,−1,3)$\overrightarrow{a}=(2,-1,3)$ dan vektor b⃗ =(−1,2,−2)$\overrightarrow{b}=(-1,2,-2)$ . Tentukan :
a). Proyeksi skalar a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
b). Proyeksi skalar b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
c). Proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
d). Proyeksi vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
e). Panjang proyeksi a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
f). Panjang proyeksi b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
Penyelesaian :
a). Proyeksi skalar a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
Proyeksi skalar =a⃗ .b⃗ |b⃗ |=(2,−1,3).(−1,2,−2)(−1)2+22+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=2.(−1)+−1.2+3.(−2)9–√=−2−2−63=−103$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi skalar }& =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\\ & =\frac{(2,-1,3).(-1,2,-2)}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}\\ & =\frac{2.(-1)+-1.2+3.(-2)}{\sqrt{9}}\\ & =\frac{-2-2-6}{3}\\ & =\frac{-10}{3}\end{array}$

b). Proyeksi skalar b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
Proyeksi skalar =b⃗ .a⃗ |a⃗ |=(−1,2,−2).(2,−1,3)22+(−1)2+32−−−−−−−−−−−−−√=−1.2+2.(−1)+−2.34+1+9−−−−−−−−√=−2−2−614−−√=−1014−−√$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi skalar }& =\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\\ & =\frac{(-1,2,-2).(2,-1,3)}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}}\\ & =\frac{-1.2+2.(-1)+-2.3}{\sqrt{4+1+9}}\\ & =\frac{-2-2-6}{\sqrt{14}}\\ & =\frac{-10}{\sqrt{14}}\end{array}$

c). Proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ =(−1032)(−1,2,−2)=(−109)(−1,2,−2)=(109,−209,209)$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi vektor }& =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\\ & =\left(\frac{-10}{3^2}\right)(-1,2,-2)\\ & =\left(\frac{-10}{9}\right)(-1,2,-2)\\ & =\left(\frac{10}{9},-\frac{20}{9},\frac{20}{9}\right)\end{array}$

d). Proyeksi vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
Proyeksi vektor =(b⃗ .a⃗ |a⃗ |2)a⃗ =(−10(14−−√)2)(2,−1,3)=(−1014)(2,−1,3)=(−57)(2,−1,3)=(−107,57,−157)$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi vektor }& =\left(\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}{|}^2}\right)\overrightarrow{a}\\ & =\left(\frac{-10}{(\sqrt{14}{)}^2}\right)(2,-1,3)\\ & =\left(\frac{-10}{14}\right)(2,-1,3)\\ & =\left(\frac{-5}{7}\right)(2,-1,3)\\ & =\left(-\frac{10}{7},\frac{5}{7},-\frac{15}{7}\right)\end{array}$

e). Panjang proyeksi a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
Panjang proyeksi =∣∣∣∣a⃗ .b⃗ |b⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣−103∣∣∣=103$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right|\\ & =\left|\frac{-10}{3}\right|\\ & =\frac{10}{3}\end{array}$

f). Panjang proyeksi b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$
Panjang proyeksi =∣∣∣∣b⃗ .a⃗ |a⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣−1014−−√∣∣∣=1014−−√$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\right|\\ & =\left|\frac{-10}{\sqrt{14}}\right|\\ & =\frac{10}{\sqrt{14}}\end{array}$

2). Tentukan proyeksi vektor p⃗ =(2,4)$\overrightarrow{p}=(2,4)$ pada q⃗ =(6,2)$\overrightarrow{q}=(6,2)$ dan panjang proyeksi vektor itu!
Penyelesaian :
*). Misalkan hasil proyeksinya adalah vektor u⃗ $\overrightarrow{u}$ seperti gambar berikut,

*). Menentukan proyeksi vektor p⃗ $\overrightarrow{p}$ pada q⃗ $\overrightarrow{q}$ :
u⃗ =(p⃗ .q⃗ |q⃗ |2)q⃗ =(2.6+4.2(62+22−−−−−−√)2)(6,2)=(12+8(40−−√)2)(6,2)=(2040)(6,2)=(12)(6,2)=(3,1)$\begin{array}{rl}\overrightarrow{u}& =\left(\frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}{|}^2}\right)\overrightarrow{q}\\ & =\left(\frac{2.6+4.2}{(\sqrt{6^2+2^2}{)}^2}\right)(6,2)\\ & =\left(\frac{12+8}{(\sqrt{40}{)}^2}\right)(6,2)\\ & =\left(\frac{20}{40}\right)(6,2)\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)(6,2)\\ & =(3,1)\end{array}$
Sehingga vektor proyeksinya adalah (3,1)$(3,1)$.
*). Menentukan panjang vektor proyeksinya :
Panjang proyeksi =32+12−−−−−−√=10−−√$=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
Sehingga panjang vektor proyeksinya adalah 10−−√$\sqrt{10}$.

Catatan :
Untuk menentukan panjang proyeksi pada contoh soal nomor 2 ini, kita tidak perlu mencari hasil vektor proyeksinya terlebih dahulu, melainnya bisa langsung menggunakan rumus panjang proyeksi vektornya yaitu :
Panjang proyeksi =∣∣p⃗ .q⃗ |q⃗ |∣∣=2040√=204040−−√=12.210−−√=10−−√$=\left|\frac{\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|}\right|=\frac{20}{\sqrt{40}}=\frac{20}{40}\sqrt{40}=\frac{1}{2}.2\sqrt{10}=\sqrt{10}$.

3). Diketahui titik-titik A(−3,1,2)$A(-3,1,2)$ , B(2,2,1)$B(2,2,1)$ dan C(−1,0,3)$C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor AB→$\overrightarrow{AB}$ pada BC→$\overrightarrow{BC}$!
Penyelesaian :
*). Menentukan AB→$\overrightarrow{AB}$ dan BC→$\overrightarrow{BC}$ :
AB→=B−A=(2−(−3),2−1,1−2)=(5,1,−1)$\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-3),2-1,1-2)=(5,1,-1)$
BC→=C−B=(−1−2,0−2,3−1)=(−3,−2,2)$\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-2,0-2,3-1)=(-3,-2,2)$.
*). Hasil proyeksi vektor AB→$\overrightarrow{AB}$ pada BC→$\overrightarrow{BC}$ misalkan r⃗ $\overrightarrow{r}$ :
r⃗ =⎛⎝⎜AB→.BC→|BC→|2⎞⎠⎟BC→=⎛⎝⎜5.(−3)+1.(−2)+−1.2((−3)2+(−2)2+22−−−−−−−−−−−−−−−−√)2⎞⎠⎟(−3,−2,2)=(−15−2−2(9+4+4−−−−−−−−√)2)(−3,−2,2)=(−19(17−−√)2)(−3,−2,2)=(−1917)(−3,−2,2)=(5717,3817,−3817)$\begin{array}{rl}\overrightarrow{r}& =\left(\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}{|}^2}\right)\overrightarrow{BC}\\ & =\left(\frac{5.(-3)+1.(-2)+-1.2}{(\sqrt{(-3{)}^2+(-2{)}^2+2^2}{)}^2}\right)(-3,-2,2)\\ & =\left(\frac{-15-2-2}{(\sqrt{9+4+4}{)}^2}\right)(-3,-2,2)\\ & =\left(\frac{-19}{(\sqrt{17}{)}^2}\right)(-3,-2,2)\\ & =\left(\frac{-19}{17}\right)(-3,-2,2)\\ & =\left(\frac{57}{17},\frac{38}{17},-\frac{38}{17}\right)\end{array}$
Jadi, hasil proyeksinya adalah (5717,3817,−3817)$\left(\frac{57}{17},\frac{38}{17},-\frac{38}{17}\right)$.

4). Diketahui vektor-vektor u⃗ =(−1,1,−4)$\overrightarrow{u}=(-1,1,-4)$ dan v⃗ =(2,−1,3)$\overrightarrow{v}=(2,-1,3)$ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor (2u⃗ +3v⃗ )$(2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})$ pada −2v⃗ $-2\overrightarrow{v}$!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dan penyingkatan dalam penulisan, kita misalkan :
a⃗ =(2u⃗ +3v⃗ )=(−2,2,−8)+(6,−3,9)=(4,−1,1)$\overrightarrow{a}=(2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})=(-2,2,-8)+(6,-3,9)=(4,-1,1)$
b⃗ =−2v⃗ =(−4,2,−6)$\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{v}=(-4,2,-6)$
Yang kita cari sama saja proyeksi skalar dan proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$.
*). Menentukan proyeksi skalar a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
Proyeksi skalar =a⃗ .b⃗ |b⃗ |=4.(−4)+(−1).2+1.(−6)(−4)2+22+(−6)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=−16−2−616+4+36−−−−−−−−−√=−2456−−√=−245656−−√=−3756−−√$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi skalar }& =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\\ & =\frac{4.(-4)+(-1).2+1.(-6)}{\sqrt{(-4{)}^2+2^2+(-6{)}^2}}\\ & =\frac{-16-2-6}{\sqrt{16+4+36}}\\ & =\frac{-24}{\sqrt{56}}\\ & =\frac{-24}{56}\sqrt{56}\\ & =-\frac{3}{7}\sqrt{56}\end{array}$
sehingga proyeksi skalarnya adalah −3756−−√$-\frac{3}{7}\sqrt{56}$.
*). Menentukan proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$
Kita gunakan hasil di atas :
Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ =(−24(56−−√)2)(−4,2,−6)=(−2456)(−4,2,−6)=(−37)(−4,2,−6)=(127,−67,187)$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi vektor }& =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\\ & =\left(\frac{-24}{(\sqrt{56}{)}^2}\right)(-4,2,-6)\\ & =\left(\frac{-24}{56}\right)(-4,2,-6)\\ & =\left(-\frac{3}{7}\right)(-4,2,-6)\\ & =\left(\frac{12}{7},-\frac{6}{7},\frac{18}{7}\right)\end{array}$
Sehingga hasil proyeksi vektornya adalah (127,−67,187)$\left(\frac{12}{7},-\frac{6}{7},\frac{18}{7}\right)$.

5). Diketahui vektor p⃗ =2i⃗ +j⃗ +2k⃗ $\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ dan q⃗ =3i⃗ +bj⃗ +k⃗ $\overrightarrow{q}=3\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Jika |r⃗ |$|\overrightarrow{r}|$ adalah panjang proyeksi vektor q⃗ $\overrightarrow{q}$ pada p⃗ $\overrightarrow{p}$ dan |r⃗ |=4$|\overrightarrow{r}|=4$, maka tentukan nilai b$b$!
Penyelesaian :
*). Diketahui vektor p⃗ =(2,1,2)$\overrightarrow{p}=(2,1,2)$ dan q⃗ =(3,b,1)$\overrightarrow{q}=(3,b,1)$ .
*). Menentukan nilai b$b$ dengan proyeksi ortogonal q⃗ $\overrightarrow{q}$ pada p⃗ $\overrightarrow{p}$ :
Panjang proyeksi |r⃗ |444|b+8|b=∣∣∣q⃗ .p⃗ |p⃗ |∣∣∣=∣∣∣q⃗ .p⃗ |p⃗ |∣∣∣=∣∣∣2.3+1.b+2.122+12+22−−−−−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣b+89–√∣∣∣=∣∣∣b+83∣∣∣=12=4∨b=−20$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{q}.\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}\right|\\ |\overrightarrow{r}|& =\left|\frac{\overrightarrow{q}.\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}\right|\\ 4& =\left|\frac{2.3+1.b+2.1}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\right|\\ 4& =\left|\frac{b+8}{\sqrt{9}}\right|\\ 4& =\left|\frac{b+8}{3}\right|\\ |b+8|& =12\\ b& =4\vee b=-20\end{array}$
Jadi, nilai b$b$ yang mungkin adalah b=−20$b=-20$ atau b=4$b=4$.

6). Tentukan proyeksi vektor a⃗ =(2,0,1)$\overrightarrow{a}=(2,0,1)$ pada vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ yang sejajar dan sama panjang tetapi berlawanan arah dengan vektor c⃗ =(0,2,−2)$\overrightarrow{c}=(0,2,-2)$ !
Penyelesaian :
*). Vektor b⃗ =−c⃗ =−(0,2,−2)=(0,−2,2)$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}=-(0,2,-2)=(0,-2,2)$.
*). Menentukan proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ =⎛⎝⎜2.0+0.(−2)+1.2(02+(−2)2+22−−−−−−−−−−−−−√)2⎞⎠⎟(0,−2,2)=(2(8–√)2)(0,−2,2)=(28)(0,−2,2)=(14)(0,−2,2)=(0,−12,12)$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi vektor }& =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\\ & =\left(\frac{2.0+0.(-2)+1.2}{(\sqrt{0^2+(-2{)}^2+2^2}{)}^2}\right)(0,-2,2)\\ & =\left(\frac{2}{(\sqrt{8}{)}^2}\right)(0,-2,2)\\ & =\left(\frac{2}{8}\right)(0,-2,2)\\ & =\left(\frac{1}{4}\right)(0,-2,2)\\ & =\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\end{array}$
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah (0,−12,12)$\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

7). Diketahui a⃗ =(4,2,−3)$\overrightarrow{a}=(4,2,-3)$ dan b⃗ =(−1,2,−2)$\overrightarrow{b}=(-1,2,-2)$. Vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ merupakan proyeksi ortogonal vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$. Jika u⃗ =(−1,1,z)$\overrightarrow{u}=(-1,1,z)$ memiliki panjang yang sama dengan vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ , maka tentukan nilai z$z$!
Penyelesaian :
*). Menentukan panjang vektor u⃗ $\overrightarrow{u}$ :
|u⃗ |=(−1)2+12+z2−−−−−−−−−−−−−√=z2+2−−−−−√$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+z^2}=\sqrt{z^2+2}$
*). Menentukan panjang proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ (panjang vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$) :
Panjang proyeksi |c⃗ |=∣∣∣∣a⃗ .b⃗ |b⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣∣∣4.(−1)+2.2+(−3).(−2)(−1)2+22+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√∣∣∣∣∣=∣∣∣−4+4+69–√∣∣∣=∣∣∣63∣∣∣=2$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right|\\ |\overrightarrow{c}|& =\left|\frac{4.(-1)+2.2+(-3).(-2)}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}\right|\\ & =\left|\frac{-4+4+6}{\sqrt{9}}\right|\\ & =\left|\frac{6}{3}\right|\\ & =2\end{array}$

*). Menentukan nilai z$z$ dengan |u⃗ |=|c⃗ |$|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{c}|$ :
|u⃗ |z2+2−−−−−√(z2+2−−−−−√)2z2+2z2z=|c⃗ |=2(kuadratkan)=22=4=2=±2$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{u}|& =|\overrightarrow{c}|\\ \sqrt{z^2+2}& =2\text{(kuadratkan)}\\ (\sqrt{z^2+2}{)}^2& =2^2\\ z^2+2& =4\\ z^2& =2\\ z& =\pm 2\end{array}$
Jadi, nilai z=−2–√$z=-\sqrt{2}$ atau z=2–√$z=\sqrt{2}$ .

8). Diketahui a⃗ =(−4,2)$\overrightarrow{a}=(-4,2)$ dan b⃗ =(3,x)$\overrightarrow{b}=(3,x)$, x$x$ bilangan bulat positif. Vektor q⃗ $\overrightarrow{q}$ merupakan proyeksi a⃗ $\overrightarrow{a}$ ke b⃗ $\overrightarrow{b}$ dan θ$\theta$ sudut yang dibentuk oleh a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan q⃗ $\overrightarrow{q}$. Jika cosθ=12√$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ , maka tentukan q⃗ $\overrightarrow{q}$!
Penyelesaian :
*). Vektor q⃗ $\overrightarrow{q}$ adalah hasil proyeksi a⃗ $\overrightarrow{a}$ ke b⃗ $\overrightarrow{b}$, artinya q⃗ $\overrightarrow{q}$ terletak pada vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ sehingga sudut antara a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan q⃗ $\overrightarrow{q}$ sama saja dengan sudut antara a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan b⃗ $\overrightarrow{b}$ .
*). Kita memiliki rumus a⃗ .b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cosθ$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
*). Menentukan nilai x$x$ dengan perkalian dot :
a⃗ .b⃗ (−4,2).(3,x)−4.3+2.x−4.3+2.x−12+2x4x2−48x+1444x2−48x+1446x2+48x−54x2+8x−9(x+9)(x−1)x=−9∨x=1=|a⃗ ||b⃗ |cosθ=(−4)2+22−−−−−−−−−√.32+x2−−−−−−√.12–√=20−−√.x2+9−−−−−√.12–√=20−−√2–√.x2+9−−−−−√=10−−√.x2+9−−−−−√(kuadratkan)=10(x2+9)=10x2+90=0=0=0$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \\ (-4,2).(3,x)& =\sqrt{(-4{)}^2+2^2}.\sqrt{3^2+x^2}.\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -4.3+2.x& =\sqrt{20}.\sqrt{x^2+9}.\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -4.3+2.x& =\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{2}}.\sqrt{x^2+9}\\ -12+2x& =\sqrt{10}.\sqrt{x^2+9}\text{(kuadratkan)}\\ 4x^2-48x+144& =10(x^2+9)\\ 4x^2-48x+144& =10x^2+90\\ 6x^2+48x-54& =0\\ x^2+8x-9& =0\\ (x+9)(x-1)& =0\\ x=-9\vee x=1\end{array}$
Karena x$x$ positifi, maka x=1$x=1$ yang memenuhi.
Sehingga vektor a⃗ =(−4,2)$\overrightarrow{a}=(-4,2)$ dan b⃗ =(3,x)=(3,1)$\overrightarrow{b}=(3,x)=(3,1)$.
*). Menetukan vektor q⃗ $\overrightarrow{q}$ yaitu proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ ke b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
Proyeksi vektor q⃗ =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ =(−4.3+2.1(32+12−−−−−−√)2)(3,1)=(−10(10−−√)2)(3,1)=(−1010)(3,1)=(−1)(3,1)=(−3,−1)$\begin{array}{rl}\text{Proyeksi vektor }& =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{q}& =\left(\frac{-4.3+2.1}{(\sqrt{3^2+1^2}{)}^2}\right)(3,1)\\ & =\left(\frac{-10}{(\sqrt{10}{)}^2}\right)(3,1)\\ & =\left(\frac{-10}{10}\right)(3,1)\\ & =\left(-1\right)(3,1)\\ & =(-3,-1)\end{array}$
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah q⃗ =(−3,−1)$\overrightarrow{q}=(-3,-1)$.

9). Diketahui vektor u⃗ $\overrightarrow{u}$ dan vektor v⃗ $\overrightarrow{v}$ membentuk sudut θ$\theta$. Jika panjang proyeksi u⃗ $\overrightarrow{u}$ dan v⃗ $\overrightarrow{v}$ sama dengan tiga kali panjang v⃗ $\overrightarrow{v}$ , maka tentukan perbandingan panjang u⃗ $\overrightarrow{u}$ terhadap panjang v⃗ $\overrightarrow{v}$!
Penyelesaian :
*). Diketahui panjang proyeksi u⃗ $\overrightarrow{u}$ dan v⃗ =3|v⃗ |$\overrightarrow{v}=3|\overrightarrow{v}|$
*). Menentukan perbandingannya dengan panjang proyeksi u⃗ $\overrightarrow{u}$ dan v⃗ $\overrightarrow{v}$ dan rumus perkalian dot :
Panjang proyeksi 3|v⃗ |3|v⃗ |3|v⃗ |3cosθ=∣∣∣u⃗ .v⃗ |v⃗ |∣∣∣=∣∣∣|u⃗ ||v⃗ |cosθ|v⃗ |∣∣∣=||u⃗ |cosθ|=|u⃗ |cosθ=|u⃗ ||v⃗ |$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}\right|\\ 3|\overrightarrow{v}|& =\left|\frac{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \theta }{|\overrightarrow{v}|}\right|\\ 3|\overrightarrow{v}|& =\left||\overrightarrow{u}|\cos \theta \right|\\ 3|\overrightarrow{v}|& =|\overrightarrow{u}|\cos \theta \\ \frac{3}{\cos \theta }& =\frac{|\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{v}|}\end{array}$
Jadi, perbandingan panjang u⃗ $\overrightarrow{u}$ terhadap panjang v⃗ $\overrightarrow{v}$ adalah |u⃗ |:|v⃗ |=3:cosθ$|\overrightarrow{u}|:|\overrightarrow{v}|=3:\cos \theta$.

10). Diketahui vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ membentuk sudut θ$\theta$. Jika panjang proyeksi vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$ sama dengan 2sinθ$2\sin \theta$ dan panjang vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ adalah 1, maka tentukan tan2θ$\tan 2\theta$!
(Soal UM-UGM)
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
tanθ=sinθcosθ$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ dan tan2θ=2tanθ1−tan2θ$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$
*). Diketahui panjang proyeksi b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ =2sinθ$\overrightarrow{a}=2\sin \theta$.
*). Panjang proyeksi vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ pada a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan perkalian dot :
Panjang proyeksi 2sinθ2sinθ2sinθ2sinθsinθcosθtanθ=∣∣∣∣b⃗ .a⃗ |a⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣∣|b⃗ ||a⃗ |cosθ|a⃗ |∣∣∣∣=∣∣|b⃗ |cosθ∣∣=1.cosθ=cosθ=12=12$\begin{array}{rl}\text{Panjang proyeksi }& =\left|\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\right|\\ 2\sin \theta & =\left|\frac{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\cos \theta }{|\overrightarrow{a}|}\right|\\ 2\sin \theta & =\left||\overrightarrow{b}|\cos \theta \right|\\ 2\sin \theta & =1.\cos \theta \\ 2\sin \theta & =\cos \theta \\ \frac{\sin \theta }{\cos \theta }& =\frac{1}{2}\\ \tan \theta & =\frac{1}{2}\end{array}$
*). Menetukan nilai tan2θ$\tan 2\theta$ :
tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2.121−(12)2=11−14=134=43$\begin{array}{r}\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }=\frac{2.\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\end{array}$.
Jadi, nilai tan2θ=43$\tan 2\theta =\frac{4}{3}$.

♠$\mathrm{♠}$ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :
Perhatikan gambar ilustrasi I di bawah ini.

Vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan c⃗ $\overrightarrow{c}$ membentuk sudut θ$\theta$ dan terbentuk segitiga siku-siku.
sehingga cosθ=|c⃗ ||a⃗ |$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$
*). Pembuktian rumus proyeksi skalar a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ dan panjangnya :
-). Perkalian dot a⃗ $\overrightarrow{a}$ dan b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ |c⃗ |=|a⃗ ||b⃗ |cosθ=|a⃗ ||b⃗ ||c⃗ ||a⃗ |=|b⃗ ||c⃗ |=a⃗ .b⃗ |b⃗ |$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|\\ |\overrightarrow{c}|& =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\end{array}$
-). Karena a⃗ .b⃗ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ nilainya bisa positif atau negatif, sementara bentuk |c⃗ |$|\overrightarrow{c}|$ menyatakn panjang vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ yang nilainya selalu popsitif, maka bentuk a⃗ .b⃗ |b⃗ |$\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ menghasilkan besar (panjangnya) dan arah (positif atau negatif). Besarnya saja kita sebut sebagai panjang proyeksinya (panjang vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$) yang selalu positif, sementara besar dan arah kita sebut sebagai proyeksi skalar dengan rumusnya yaitu :
Proyeksi skalar =a⃗ .b⃗ |b⃗ |$=\begin{array}{r}\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\end{array}$
Panjang Proyeksi =∣∣∣∣a⃗ .b⃗ |b⃗ |∣∣∣∣$=\begin{array}{r}\left|\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right|\end{array}$

*). Pembuktian rumus proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
-). Pada pembuktian di atas, kita telah memperoleh proyeksi skalar a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ yaitu besar dan arah c⃗ $\overrightarrow{c}$. Karena skalar c⃗ $\overrightarrow{c}$ sudah kita peroleh dan c⃗ $\overrightarrow{c}$ berimpit dengan vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ maka vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ adalah hasil dari perkalian skalarnya dengan vektor satuan dari vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$.
c⃗ =(skalar )e⃗ b⃗ =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |)b⃗ |b⃗ |=(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ $\begin{array}{rl}\overrightarrow{c}& =(\text{skalar }){\overrightarrow{e}}_{\overrightarrow{b}}\\ & =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right)\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\\ & =\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\end{array}$
Sehingga rumus proyeksi vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ pada b⃗ $\overrightarrow{b}$ :
Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ $=\begin{array}{r}\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\end{array}$

*). Pembuktian cara II rumus proyeksi vektor :
-).pada ilustrasi gambar, misalkan garis putus-putus warna merah kita anggap sebagai sebuah vektor d⃗ $\overrightarrow{d}$ yang tegak lurus vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$, sehingga d⃗ .b⃗ =0$\overrightarrow{d}.\overrightarrow{b}=0$. Berdasarkan penjumlahan vektor secara geometri yaitu aturan segitiga kita peroleh a⃗ =c⃗ +d⃗ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$.
-). Vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ sejajar vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ sehingga c⃗ =nb⃗ $\overrightarrow{c}=n\overrightarrow{b}$ dan sudutnya 0∘$0^{\circ }$.
b⃗ .c⃗ =|b⃗ ||nb⃗ |cos0∘=n|b⃗ |2$\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{b}||n\overrightarrow{b}|\cos 0^{\circ }=n|\overrightarrow{b}{|}^2$
-). Menentukan nilai n$n$ dengan perkalian dot dan sifat perkalian dot :
a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ a⃗ .b⃗ n=(c⃗ +d⃗ ).b⃗ =c⃗ .b⃗ +d⃗ .b⃗ =c⃗ .b⃗ +0=c⃗ .b⃗ =n|b⃗ |2=a⃗ .b⃗ |b⃗ |2$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}).\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}.\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}+0\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =n|\overrightarrow{b}{|}^2\\ n& =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\end{array}$
sehingga vektor c⃗ $\overrightarrow{c}$ yaitu :
c⃗ =nb⃗ =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ $\begin{array}{rl}\overrightarrow{c}& =n\overrightarrow{b}=\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\end{array}$
Jadi, rumus Proyeksi vektor =(a⃗ .b⃗ |b⃗ |2)b⃗ $=\begin{array}{r}\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\right)\overrightarrow{b}\end{array}$ .

Daftar Pustaka

https://www.konsep-matematika.com/2017/11/proyeksi-ortogonal-vektor-pada-vektor.html?m=1

Subscribe to receive free email updates: