Soal dan Sifat-sifat Pertidaksamaan Eksponen

Sifat-sifat Pertidaksamaan Eksponen

A. Untuk $0<a<1$, jika:
   $1.a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)>g\left(x\right)$
   $2.a^{f\left(x\right)}\le a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$
   $3.a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)<g\left(x\right)$
   $4.a^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\le g\left(x\right)$
B. Untuk $a>1$, jika:
   $1.a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)<g\left(x\right)$
   $2.a^{f\left(x\right)}\le a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\le g\left(x\right)$
   $3.a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)>g\left(x\right)$
   $4.a^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$
$aadalahbilanganpokok.$

$1.$ Soal Pertidaksamaan Eksponen

1. Himpunan penyelesaian dari 3^2x - 6.3^x < 27 adalah ...

A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x  -  6.3^x  <  27
(3^x)²  -  6(3^x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y² - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3  dan  3^x < 9
3^x > -3  dan  3^x < 3²
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...

A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  -  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  -  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  -  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

3. Penyelesaian dari 5^-2x+2 + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0 adalah ...

A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5^-2x+2  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
5^-2x . 5²  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
25(5^-x)²  +  74(5^-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5^-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y² + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y² + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5^-x, maka
5^-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5^-x ≥ 1/25  ⇔  5^-x ≥ 5^-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

4. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen berikut!

    (25/81)^2x+1>9/5

   a. x<-3/4

   b. x>3/4

   c. x<33/4

   d. x<3/4

   e. x>33/4

Penyelesaian :

Jadi jawabannya A

5. Selesaikan pertidaksamaan eksponen berikut!

    (1/8)^x3-2x2+2<(1/4)^12x+3

a. -3<x<0 atau x>4

b. -2<x<0 atau x>4

c. -1<x>0 atau x>4

d. -2<x<0 atau x<5

e. 2>x<0 atau x>5

Jadi jawabannya B

6.  Apabila 

$(\frac{1}{2}{)}^{2x+1}<(\frac{1}{8}{)}^{5x-4}$, maka
   nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x>1$
  $B.x<-1$
  $C.x<1$
  $D.x>-1$
  $E.-1<x<1$

Jawabannya C

7. Nilai 

$x$ yang memenuhi pertidaksamaan:
  $(\frac{1}{3}{)}^{x^2+3x-1}\ge (\frac{1}{3}{)}^{x^2-2x+9}$
  adalah . . . .
  $A.x\le 2$
  $B.x\ge -2$
  $C.x\ge 2$
  $D.1<x<2$
  $E.-1<x<1$

Jawabannya A

8. Jika 

$(\sqrt{3}{)}^{4x-2}>{\left(\frac{1}{9}\right)}^{x+3}$, maka
  nilai x yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x>-\frac{5}{4}$
  $B.x>\frac{5}{4}$
  $C.0<x<\frac{5}{4}$
  $D.-\frac{5}{4}<x<1$

$E.x<-\frac{5}{4}$

9. Penyelesaian dari pertidaksamaan $2^{2-2x}+2<\frac{9}{2^x}$
  adalah . . . .
  $A.-1<x<2$
  $B.-2<x<1$
  $C.x<-1ataux>2$
  $D.x<-2ataux>1$
  $E.x<0ataux>1$

Jawabannya A

• Penilaian Keterampilan

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  adalah ...

pembahasan:


     2x + 2 ≥ -2x – 2
     4x ≥ -4
     x ≥ -1
 jawaban: B

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9^x-1<3^-x+2

3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 

$\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x2 + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C

4. Penyelesaian dari 5-2x+2 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0 adalah ...

Pembahasan :
5-2x+2  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
5-2x . 52  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
25(5-x)2  +  74(5-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y2 + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y2 + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5-x, maka
5-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5-x ≥ 1/25  ⇔  5-x ≥ 5-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0, x ∈ R adalah ….
PembahasanLangkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 32x+1 menjadi 32x ∙ 31.

   32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
32x ∙ 31 + 9 − 28 ∙ 3x > 0

Misalkan p = 3x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p2 − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3x < 3−1   atau   3x > 32
  x < −1    atau     x > 2

• Penilaian Pengetahuan

10.  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen $\begin{array}{}\end{array}\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...
Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x2 + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Subscribe to receive free email updates: