Pertumbuhan, Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Bunga Anuitas, Peluruh dengan Eksponen dan contoh soalnya

Nama : Arrayani Zamri

Kelas : X MIPA 3

Absen : 10

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah $J_0$ dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi $J_n$ :

$J_n = J_0(1+r)^n$

Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

$J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa$

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+n \cdot b)$

Contoh soal bunga tunggal:

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Jika modal awal sebesar $M_0$ , dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

$b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%$

Contoh lain: Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

$b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%$

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+b)^n$

Contoh, diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

$M_n = 1.000.000(1+0.02)^5 = 1.104.080,80$

Jika modal awal sebesar $M_0$ disimpan di bank mendapatkan bunga sebesar b pertahun dan perhitungan bunga dihitung sebanyak m kali dalam setahun, maka besar modal pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1+\frac{b}{m})^{mn}$

Contoh, $M_0 = 1.000.000$ , $m = 12\ kali$ , $n = 2\ tahun$ , dan $b = 6 \%$ , maka

$M_n = 1.000.000(1+\frac{0.06}{12})^{12 \times 2} = 1.127.159,78$

Anuitas

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$

Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n

$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-n

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-n

$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Contoh Soal

Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?

Pembahasan

Angsuran

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

$A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)$

$A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)$

$A_n = (1,1025)(3.000.000)$

$A_n = 3.307.500,00$

Bunga

$B_n = (1+b)^{n-1}(b.M - A) + A$

$B_n = (1+0.05)^{3-1}(0.05 \times 20.000.000 - 4.000.000) + 4.000.000$

$B_n = (1,05)^2(-3.000.000) + 4.000.000 = -3.307.500 + 4.000.000$

$B_n = 692.500,00$

Sisa hutang

$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

$M_n = (1 + 0.05)^3(20.000.000 - \frac{4.000.000}{0.05})+ \frac{4.000.000}{0.05}$

$M_n = (1.157625)(-60.000.000) + 80.000.000$

$M_n = 10.542.500,00$

Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar $M_0$ dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah :

$A = \frac{b (M_0)(1 + b)^n}{(1 + b)^n - 1}$

Contoh Soal

Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

Pembahasan

$A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1+0,04)^6}{(1+0,04)^6-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1,04)^6}{(1,04)^6-1}$

$A = \frac{43.020.846,63}{0,2265319}$

$A = 162.147.628,43$

Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah

$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b} + \frac{A}{b})$

$M_n = (1 + 0,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = (1,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = 155.911.109,00$

Peluruhan

Peluruhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri turun.

Rumus pertumbuhan :

An = A ( 1 - r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase peluruhan

n = periode peluruhan

Contoh:

Ayah membeli mobil seharga Rp 100.000.000,- . Setiap tahun tingkat harga mengalami penurunan 5%. Jika ayah menjual mobilnya setelah 4 tahun. Maka berapa kisaran harga mobil ayah?

Jawab:

A = 100.000.000

r = 5%

n = 4 tahun

An = 100.000.000 ( 1 – 0,05)4

= 100.000.000 ( 0,95)4

= 100.000.000 (0,814506)

= 81.450.600