Sudut Antar Vektor Pada Bidang Berdimensi 2 dan Berdimensi 3 Serta Contoh Soal

 1 VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3

VEKTOR-VEKTOR DALAMRUANG BERDIMENSI 2DANRUANG BERDIMENSI 3

2 Pengantar Vektor

3 Vektor GeometrisVektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor.Ujung panah disebut titik ujung vektor.

4 Vektor ditulis dalam huruf kecil.
Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda.Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = wB AVektor ABVektor-vektor yang ekuivalen

5 Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w.wv + w = w + vvv + w

6 Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.
Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.vVektor ini mempunyai sifat :v + (-v) = 0-v

7 Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0.

8 Vektor-vektor dalam sistem koordinat
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang)Koordinat v1 dan v2 dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita tuliskan :v = (v1, v2)y(v1, v2)v x

9 Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang)
z x y Z P Y X

10 SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3, k dan l adalah skalar,maka :u+v=v+u (u+v)+w=u+(v+w)u+0=0+u=u u+(-u)=0k(lu)=kl(u) k(u+v)=ku+kv(k+l)u=ku+lu lu=u

11 Panjang & Jarak Vektor Panjang suatu vektor u dinyatakan dengan |u|.
Untuk ruang berdimensi 2.Untuk ruang berdimensi 3.

12 Hasil kali Titik dari Vektor
Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 dan  adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalameuclidean u.v, didefinisikan sebagai :

13 Sudut Antar VektorJika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

14  lancip jika dan hanya jika u.v>0
Hasil kali titik bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor.Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan  adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka : lancip jika dan hanya jika u.v>0 tumpul jika dan hanya jika u.v<0 =/2 jika dan hanya jika u.v=0

15 Vektor-Vektor Ortogonal
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal.Dua vektor u dan v ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika uv = 0.Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor yang ortogonal maka kita tuliskan u  v.

16 Proyeksi OrtogonalJika u dan a adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan jika a ≠ 0, maka :Komponen vektor u yang sejajar dengan aKomponen vektor u yang ortogonal terhadap a

17 Hasil Kali Silang Vektor
Jika hasil kali titik berupa suatu skalar maka hasil kali silang berupa suatu vektor.Jika u=(u1,,u3) dan v=(v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai :u x v =(u2v3 - u3v2 , u3v1 - u1v3 , u1v2 - u2v1 )atau dalam notasi determinan :

18 Sifat-sifat utama dari hasil kali silang.
Jika u,v, dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka :u x v = -(v x u)u x (v+w) = (u x v) + (u x w)(u + v) x w = (u x w) + (v x w)k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)u x 0 = 0 x u = 0u x u = 0

19 Hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka :u.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap u.v.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap v.|u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w(u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u
CONTOH SOAL

1. Jika vektor a = 4i − 2j − 6k dan vektor b = -5i + mj − 4k saling tegak lurus, maka nilai m adalah ....

   A. 3	D. -2
   B. 2	E. -4
   C. 1

   
   Pembahasan :
   Kedua vektor saling tegak lurus, maka membentuk sudut 90^o. Berdasarkan konsep perkalian skalar :
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos 90^o
   ⇒ (4i − 2j − 6k).(-5i + mj − 4k) = |a|.|b| (0)
   ⇒ 4(-5) + (-2)(m) + (-6)(-4) = 0
   ⇒ -20 − 2m + 24 = 0
   ⇒ -2m + 4 = 0
   ⇒ -2m= -4
   ⇒ m = 2
   

   Jawaban : B

   
   
2. Vektor a dan b diberikan sebagai berikut :

   a =	2	dan b =	k
   	-1		1
   	-3		-1

   
   Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai k adalah ....
   

   A. -3	D. 2
   B. -2	E. 3
   C. -1

   
   Pembahasan :
   Berdasarkan konsep perkalian skalar :
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos 90^o
   ⇒ (2i − j − 3k).(ki + j − k) = |a|.|b| (0)
   ⇒ 2(k) + (-1)(1) + (-3)(-1) = 0
   ⇒ 2k − 1 + 3 = 0
   ⇒ 2k + 2 = 0
   ⇒ 2k = -2
   ⇒ k = -1
   

   Jawaban : C
   
   
3. Diketahui vektor u = i + √4 j + √5 k dan vektor v = -i + √4 j + √5 k. Sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah ....

   A. 37o	D. 90o.
   B. 53o	E. 120o.
   C. 60o

   
   Pembahasan :
   ⇒ u.v = |u|.|v| cos θ
   ⇒ u.v = |u|.|v| cos θ
   ⇒ (i + √4 j + √5 k).(-i + √4 j + √5 k) = |u|.|v| cos θ
   ⇒ -1 + 4 + 5 = √1 + 4 + 5.√1 + 4 + 5 cos θ
   ⇒ 8 = 10 cos θ
   ⇒ cos θ = ⅘
   ⇒ θ = 37^o.
   

   Jawaban : A

Daftar Pustaka

https://slideplayer.info/slide/3949389/

https://www.edutafsi.com/2015/05/menentukan-besar-sudut-antara-dua-vektor.html

Subscribe to receive free email updates: