Soal Pertidaksamaan Logaritma dan Sifat-sifatnya

 Soal Pertidaksamaan Logaritma

1. Solusi dari pertidaksamaan 

|3−logx|<2$\left|3-logx\right|<2$ adalah...

•  0<x<10$0<x<10$ atau x>105$x>{10}^5$
•  0<x<10$0<x<10$
•  0<x<10$0<x<10$ atau 10<x<105$10<x<{10}^5$
•  10<x<105$10<x<{10}^5$
•  x<10$x<10$ atau x>105$x>{10}^5$

Penyelesaian :

|3−logx|<2$\left|3-logx\right|<2$

(3−logx)2<22→(3−logx)2−22<0${\left(3-logx\right)}^2<2^2\to {\left(3-logx\right)}^2-2^2<0$

(3−logx−2)(3−logx+2)<0$\left(3-logx-2\right)\left(3-logx+2\right)<0$

(1−logx)(5−logx)<0$\left(1-logx\right)\left(5-logx\right)<0$

log x<1$x<1$ atau log x>5$x>5$

* logx<1$x<1$

log x<log10→x<10$x<log10\to x<10$....(1)

* log x>5$x>5$

log x>log105→x>105$x>log{10}^5\to x>{10}^5$….(2)

Gabungan dari pers (1) dan (2) adalah x<10$x<10$ atau x>105$x>{10}^5$….(3)

Syarat Logaritma : x>0$x>0$…….(4)

Irisan dari pers (3) dan (4) adalah 0<x<10$0<x<10$ atau x>105

2. Solusi dari log 

x≥0$x\ge 0$ adalah…

•  x≥1$x\ge 1$
•  x≥0$x\ge 0$
•  x≥2$x\ge 2$
•  x≥10$x\ge 10$
•  x≤1$x\le 1$

Penyelesaian :

logx≥0$logx\ge 0$

logx≥log1$logx\ge log1$

x≥1

3. Solusi dari 

2log4x<1${}^{2}log4x<1$ adalah...

•  x>0$x>0$
• x<12$x<\frac{1}{2}$
•  x<1$x<1$
•  x<2$x<2$
•  x<4$x<4$

Penyelesaian :

2log4x<1${}^{2}log4x<1$

2log4x<2log2${}^{2}log4x{<}^{2}log2$ 4x<2$4x<2$ x<12

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan1

2log(x2−3)>0${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-3)>0$ adalah…

•  −3–√<x<3–√$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
•  −2<x<−3–√$-2<x<-\sqrt{3}$
•  −2<x<2$-2<x<2$
•  x<−2$x<-2$ atau x>2$x>2$
•  x<3–√$x<\sqrt{3}$ atau x>2$x>2$

Penyelesaian :

12log(x2−3)>0${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-3)>0$

12log(x2−3)>12log1${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-3){>}^{\frac{1}{2}}log1$

x2−3>1$x^2-3>1$

x2−4>0$x^2-4>0$

(x+2)(x−2)>0$(x+2)(x-2)>0$

x<−2$x<-2$ atau x>2$x>2$ ……(1)

Syarat akar : x2−3>0$x^2-3>0$

(x−3–√)(x+3–√)>0$\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0$

x<−3–√$x<-\sqrt{3}$ atau x>3–√$x>\sqrt{3}$….(2)

Irisan dari pers (1) dan pers (2) adalah $-2

5. Solusi dari pertidaksamaan log

(x−1)2<${\left(x-1\right)}^2<$log(x−1)$\left(x-1\right)$ adalah...

•  x<2$x<2$
•  x>1$x>1$
•  x<1$x<1$ atau x>2$x>2$
•  0<x<2$0<x<2$
•  1<x<2$1<x<2$

Penyelesaian :

log(x−1)2<${\left(x-1\right)}^2<$log(x−1)$\left(x-1\right)$

(x−1)2−(x−1)<0${\left(x-1\right)}^2-\left(x-1\right)<0$

(x−1)(x−1−1)<0$\left(x-1\right)\left(x-1-1\right)<0$

(x−1)(x−2)<0$\left(x-1\right)(x-2)<0$

1<x<2$1<x<2$……(1)

Syarat logaritma x−1>0→x>1$x-1>0\to x>1$…..(2)

Irisan dari pers (1) dan (2) adalah 1<x<2

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 

1logx−12.logx−1<1$\frac{1}{logx}-\frac{1}{2.logx-1}<1$ adalah...

•  0<x<1$0<x<1$
•  0<x<10−−√$0<x<\sqrt{10}$
•  1<x<10−−√$1<x<\sqrt{10}$
•  0<x<10−−√$0<x<\sqrt{10}$ atau x>10−−√$x>\sqrt{10}$
•  0<x<1$0<x<1$ atau x>10−−√$x>\sqrt{10}$

Penyelesaian :

Misal logx=y$x=y$

1y−12y−1<1$\frac{1}{y}-\frac{1}{2y-1}<1$

(2y−1)−yy(2y−1)−1<0$\frac{(2y-1)-y}{y(2y-1)}-1<0$

(y−1)−(2y2−y)y(2y−1)<0$\frac{(y-1)-(2y^2-y)}{y(2y-1)}<0$ dikalikan dengan −1$-1$

2y2−2y+1y(2y−1)>0$\frac{2y^2-2y+1}{y(2y-1)}>0$

def(+)y(2y−1)>0$\frac{def(+)}{y(2y-1)}>0$; 2y2−2y+1$2y^2-2y+1$ adalah definit positif
karena a > 0 dan D < 0 y<0$y<0$ atau y>12$y>\frac{1}{2}$

* Untuk y<0→logx<0→x<1$y<0\to logx<0\to x<1$

* Untuk y>12→logx>12→x>10−−√$y>\frac{1}{2}\to logx>\frac{1}{2}\to x>\sqrt{10}$

x<1$x<1$ atau x>10−−√…..(1)$x>\sqrt{10}\dots ..(1)$

Syarat akar :x>0$x>0$…..(2)

Irisan dari pers (1) dan (2) adalah 0<x<1$0<x<1$ atau x>10−−√

7. Solusi untuk x dari pertidaksamaan 

3log(2log[2−4logx])<1${}^{3}log\left({}^{2}log\left[2{-}^{4}logx\right]\right)<1$ adalah...

•  x>0$x>0$
•  x>4−6$x>4^{-6}$
•  4−6<x<4$4^{-6}<x<4$
•  4−6<x<16$4^{-6}<x<16$
•  x<4−6$x<4^{-6}$ atau x>4$x>4$

Penyelesaian :

3log(2log[2−4logx])<1${}^{3}log\left({}^{2}log\left[2{-}^{4}logx\right]\right)<1$

3log(2log[2−4logx])<3log3${}^{3}log\left({}^{2}log\left[2{-}^{4}logx\right]\right){<}^{3}log3$ 2log(2−4logx)<3${}^{2}log\left(2{-}^{4}logx\right)<3$ 2log(2−4logx)<2log8${}^{2}log\left(2{-}^{4}logx\right){<}^{2}log8$ 2−4logx<8$2{-}^{4}logx<8$ 4logx>−6→4logx>4log4−6→x>4−6${}^{4}logx>-6{\to }^{4}logx{>}^{4}log{4}^{-6}\to x>4^{-6}$…..(1)

Syarat logaritma :

* 2log[2−4logx]>0${}^{2}log\left[2{-}^{4}logx\right]>0$

2log[2−4logx]>2log1${}^{2}log\left[2{-}^{4}logx\right]{>}^{2}log1$

2−4logx>1→4logx<1→x<4$2{-}^{4}logx>1{\to }^{4}logx<1\to x<4$......(2)

* 2−4logx>0$2{-}^{4}logx>0$

4logx<2→x<16${}^{4}logx<2\to x<16$.....(3)

* x>0$x>0$…..(4)

Irisan dari pers (1),(2),(3) dan (4) adalah 4−6<x<4

8. Solusi dari pertidaksamaan 

13log9x+2≥2log4−1${}^{\frac{1}{3}}log9x+2{\ge }^{2}log4-1$ adalah…

•  x≥19$x\ge \frac{1}{9}$
•  x≥16$x\ge \frac{1}{6}$
•  x≥13$x\ge \frac{1}{3}$
•  x≥1$x\ge 1$
•  x≥3$x\ge 3$

Penyelesaian :

13log9x+2≥2log4−1${}^{\frac{1}{3}}log9x+2{\ge }^{2}log4-1$

13log9x+2≥2−1${}^{\frac{1}{3}}log9x+2\ge 2-1$

13log9x≥−1${}^{\frac{1}{3}}log9x\ge -1$

13log9x≥13log3${}^{\frac{1}{3}}log9x{\ge }^{\frac{1}{3}}log3$

9x≥3$9x\ge 3$

x≥39$x\ge \frac{3}{9}$

x≥13

9. Pertidaksamaan 

6log(x2−x−6)<1${}^{6}log\left(x^2-x-6\right)<1$ dipenuhi oleh...

•  −3<x<−2$-3<x<-2$ atau 3<x<4$3<x<4$
•  −3<x<4$-3<x<4$
•  x<−2$x<-2$ atau x>3$x>3$
•  x<−3$x<-3$ atau x>4$x>4$
•  −2<x<3$-2<x<3$

Penyelesian :

6log(x2−x−6)<1${}^{6}log\left(x^2-x-6\right)<1$

6log(x2−x−6)<6log6${}^{6}log\left(x^2-x-6\right){<}^{6}log6$

x2−x−6<6$x^2-x-6<6$

x2−x−12<0$x^2-x-12<0$

(x−4)(x+3)<0$\left(x-4\right)\left(x+3\right)<0$

−3<x<4$-3<x<4$…..(1)

Syarat logaritma : x2−x−6≥0$x^2-x-6\ge 0$

(x−3)(x+2)≥0$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\ge 0$

x≤−2$x\le -2$ atau x>3$x>3$…..(2)

Irisan dari pers (1) dan (2) adalah −3<x<−2$-3<x<-2$ atau 3<x<4

Daftar Pustaka :

https://www.wardayacollege.com/matematika/aljabar/pertidaksamaan-eksponen-logaritma/pertidaksamaan-logaritma/

Subscribe to receive free email updates: