Latihan PTS MTKM Semester Genap

Uji Kompetensi

1. Jika Vektor ā = (1 2 3), b = (5 4 -1), dan c = (4 -1 1), maka hasil dari operasi vektor a+2b-3c adalah...

Jawab : a + 2b – 3c

= (D)

2. Diketahui [a]= √3, [b] = 1 dan [a-b] = 1. Panjang vektor a+b adalah...

Jawab :

3. Diketahui a = 2i - 3j + 4k dan b = 5j + k nilai a . b adalah...

Jawab : a = (2, -3, 4) dan b = (0, 5, 1)

maka a.b = 2(0) + (-3)(5) + 4(1)

= 0 - 15 + 4

= -11 (A)

4. Diketahui |a+b| = 2√19, jika |a| = 4 dan |b| = 6, maka |a-b| adalah...

Jawab :

Menentukan nilai 2 a · b

diperoleh: nilai 2 a · b = 24

❖ Sehingga, nilai |a – b|

∴ Kesimpulan : Jadi, nilai |a – b| = 2√7 (A)

5. Diketahui Vektor a=2i-3j+k, b=pi+2j-k, dan c=i-j+3k jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a-b-c =....

Jawab :

b tegak lurus c
b•c = 0
(p, 2, -1)•(1, -1, 3) = 0
p - 2 - 3 = 0
p - 5 = 0
p = 5
jadi b = 5i + 2j - k

Vektor a - b - c
=> (2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)
=> (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)
=> (-3-1, -5+1, 2-3)
=> (-4, -4, -1)
=> -4i - 4j - k (C)

6. Jika sudut antra vektor a = i + √2j +pk dan b = i - √2j + pk adalah 60°, maka p = ...

Jawab :

a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5

Jadi jawabannya -√5 atau √5 (D)

7. Titik A (3, 2, -1), B (1, -2, 1) dan C (7, p - 1, -5) segaris jika nilai p =.....

Jawab :

pake cara bab vektor
dimana apabila ada titik segaris,,,
maka
ab = k × ac
(1,-2,1) - (3,2,1) = k × ((7,p-1,-5) - (3,2,1))
(1-3 , -2-2 , 1-1) = k × (7-3 , p-1-2 , -5-1)
(-2 , -4 , 0) = k × (4 , p-3 , -6)

maka,, cari nilai k dulu
-2 = k × 4
-2/4 = k
-1/2 = k

kemudian cari nilai p-nya
-4 = k × (p-3)
-4 = -1/2 × (p-3)
-4 × -2 = p - 3
8 = p - 3
8 + 3 =p
11 = p

Jawabannya 11 (D)

8. Diketahui titik A(3,1,-4) B(3,-4,6) dan C(-1,5,4) titik p membagi vektor AB sehingga AP:PB=3:2 maka vektor yang di wakili oleh vektor PC adalah..

Jawab :

AP : PB = 3 : 2, maka

p =

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= (E)

9. Panjang proyeksi orthogonal vektor a= (-2,8,4) pada vektor b=(0,p,4) adalah 8. Nilai p yang tepat adalah....

Jawab :

a . b =

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| =

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

= 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3 (C)

10.diketahui vektor a = ( p,2,-1) , b = (4,-3,6) dan c = ( 2,-1,3) , jika a tegak lurus b, maka hasil dari (vektor a- vektor 2b).( 3 vektor C) adalah ...

Jawab :

a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171 (E)

11. Diketahui titik A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). Jika titikA,B dan C segaris (kolinear) maka perbandingan AB. BC adalah...

Jawab :

Diketahui titik-titik A(1, 2, 3), B(3, 3, 1), dan C(7, 5, -3).
jarak AB
= √[(3 - 1)² + (3 - 2)² + (1 - 3)²]
= √[2² + 1² + (-2)²]
= ²√(4 + 1 + 4)
= √9
= 3
jarak BC
= √[(7 - 3)² + (5 - 3)² + (-3 - 1)²]
= √[4² + 2² + (-4)²]
= √(16 + 4 + 16)
= √36
= 6
Jika titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear), maka perbandingan
AB : BC = 3 : 6 = 1 : 2 (A)

12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...

Jawab :

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

AKAR NYA HILANG JADI

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

jadi a dan b saling membentuk sudut 90° (A)

13. diketahui titik A (2,7,8) B (-1,1,-1) dan C (0,3,2) Jika u mewakili AB dan v mewakili BC maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah......

Jawab :

AB= b-a
BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)
=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)
=(1,2,3)

e= u•v/|v|² kali v
=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)
=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)
=-42/14 kali (1,2,3)
= -3(1,2,3)
= (-3,-6,-9)

Jadi Jawabannya -3i-6j-9k (A)

14. Diketahui Vektor a= 2i - 3j + 6k dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus, maka nilai p adalah...

Jawab :

Saling tegak lurus, maka
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3 (B)

15. Diketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Jawab :

16. diketahui a=(3,-2,1) dan b=(2,y,2). jika z adalah projeksi a terhadap b dan |z|=½|b| maka nilai y yang memenuhi adalah...

Jawab :

Proyeksi a pada b

|z| = a.b/|b|

½√y²+8 = (8-2y)/√y²+8

½ (√y²+8) (y²+8) = 8-2y

y²+8 = 2(8-2y)

y²+8 = 16-4y

y²+4y-8 = 0

y = -4+4 √3.2 atau y= -42√3.2

= (C) -2+2√3

17. diketahui vektor-vektor u=9i+bj+ak dan v=ai+aj-ak. sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan cos theta=6/11. proyeksi u pada v adalah p=4i+4j-2k. nilai dari a adalah.....

Jawab :

Misalkan a adalah b

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Jadi nilai a adalah 2√2 (C)

18. Jika a = (x+1) i + x j, b = 2x i + (3x+1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2 |a| untuk ...

Jawab :

Perhatikan petunjuk berikut ini.

A. Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat.

B. Pernyataan benar, alasan benar, tetapi tidak mempunyai hubungan sebab akibat.

C. Pernyataan benar, alasan salah.

D. Pernyataan salah, alasan benar

E. Pernyataan dan alasan semuanya salah

Gunakan petunjuk diatas untuk nomor 9 dan 10.

19. Vektor u = 2i+j+2k dan vektor v = 4i+2j+4k adalah vektor searah sebab Nilai vektor u.v=18

Jawab : C

20. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A(4,7,0), B(6,10,-6) dan C(1,9,0) merupakan segitiga siku siku sebab nilai vektor AB.AC>0.

Jawab : A